В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью

Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиусом R₁ находится заряд q₁. Какой заряд q₂ следует поместить на внешнюю сферу радиусом R₂, чтобы потенциал внутренней сферы стал равным нулю? Как будет зависеть при этом потенциал j от расстояния r до центра системы?

Запишем выражения для потенциала вне системы (j_II) и в области между сферами (j_I):

, , где j₀ – некоторая постоянная. Ее значение легко найти из граничного условия: при r = R₂ потенциал j_II = j_I. Отсюда

.

.

Зависимость j (r) будет иметь вид:

Урок №3

Электрическое поле в диэлектрике. Энергия электрического поля

Поле в диэлектрике является суперпозицией поля E₀ сторонних зарядов (q) и поля связанных (поляризованных) зарядов (q’):

Поляризованностью диэлектрика называется суммарный дипольный момент единицы объема:

Для большинства диэлектриков, P= æ . e₀ . E, æ – диэлектрическая восприимчивость.

Поток вектора P через замкнутую поверхность, равен связанному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью, взятому с обратным знаком:

На границе раздела двух диэлектриков:

,

s¢ – поверхностная плотность связанных зарядов.

В диэлектрике теорема Гаусса для вектора E будет такой:

, т.е. следует учитывать все заряды – и сторонние, и связанные, охватываемые поверхностью S. Это неудобно, поэтому вводят вспомогательный вектор:

Как нетрудно убедиться, поток вектора D через замкнутую поверхность определяется только сторонними зарядами:

Для изотропных диэлектриков:

где e – диэлектрическая проницаемость вещества.

, где s – поверхностная плотность сторонних зарядов

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов: , где j_i – потенциал поля, создаваемого всеми остальными зарядами (кроме q_i) в точке, где расположен заряд q_i.

Если рассмотреть уединенный проводник, то энергия взаимодействия зарядов проводника между собой даст нам собственную энергию проводника:

, где – емкость проводника

При подсчете полной энергии системы следует учитывать собственную энергию всех зарядов и энергию их взаимодействия.

Оказывается, что энергию системы зарядов можно выразить через напряженность электрического поля, создаваемого этими зарядами. Объемную плотность электрической энергии можно найти по формуле:

.

Энергию электрического поля в некотором объеме V можно найти так:

.

Если интеграл взять по всему объему, где существует электрическое поле системы зарядов, то получим полную энергию этой системы.

Рассмотрим систему двух заряженных тел в вакууме (e= 1). Результирующее поле: .

Полная энергия этой системы найдется:

, где интегрирование ведется по всему пространству.

Понятно, что первое и второе слагаемые дают собственную энергию первого и второго проводников соответственно, а третье – энергию их взаимодействия.

Работа сил электростатического поля, как поля потенциальных сил, может быть найдена как убыль энергии: .

Энергия заряженного конденсатора: .

В плоском конденсаторе однородное электрическое поле локализовано только между его обкладками, поэтому .

Примеры решения задач

Задача №1

Первоначально пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено воздухом, и напряженность поля в зазоре равна Е₀. Затем половину зазора, как показано на рисунке, заполнили однородным изотропным диэлектриком с проницаемостью e. Найти модули векторов E и D в обеих частях зазора, если при введении диэлектрика напряжение между обкладками не менялось.

До введения диэлектрика напряжение между обкладками:

, т.к. поле однородное, d – расстояние между обкладками.

Магазин готовых контрольных – дипломных работ запись закреплена

Политехнический институт (ПИ) СФУ Контрольная Дисциплина: физика. Контрольные №3 и №4. Вариант 0.
Контрольная работа №3
310. Маленький шарик, несущий заряд 317 нКл, находится на рас-стоянии 2 см от плоской металлической стенки, соединенной с Землей. С какой силой они взаимодействуют?
320. Электрическое поле создано двумя бесконечными параллель-ными равномерно заряженными пластинами с поверхностными плотно-стями заряда плюс 41 нКл/м2 и минус 84 нКл/м2. Определить напряжен-ность поля между пластинами.
330. Какой энергией обладает заряженный до разности потенциалов 861 В конденсатор с площадью пластин 6193 см2, если расстояние между пластинами конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 40, равно 737 мкм.
344. До одного и того же потенциала 54 В заряжены 5313 одинако-вых шарообразных капелек ртути. Каков будет потенциал большой капли, получившейся в результате слияния этих капелек?
350. Плоский воздушный конденсатор, пластины которого располо-жены горизонтально, наполовину залит диэлектрической жидкостью с от-носительной проницаемостью 26. Какую часть конденсатора надо залить этой же жидкостью при вертикальном расположении пластин, чтобы емко-сти в обоих случаях были одинаковы?
354. В некоторой точке изотропного диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью 43 электрическое смещение имеет зна-чение 523 нКл/м2. Чему равна поляризованность в этой точке диэлектрика в нанокулонах на метр квадратный?
370. По проводнику длиной 2,4 м и площадью поперечного сечения 0,001 м2 протекает ток силой 0,05 А. Определите удельную электропро-водность материала проводника, если к его концам приложена разность потенциалов 20 В. Ответ дать в единицах СИ.
380. ЭДС батареи равна 12 В, сила тока короткого замыкания 5 А. Какую наибольшую мощность может дать батарея во внешней цепи? Ответ дать в единицах СИ.

Контрольная работа №4
410. По двум бесконечно длинным параллельным проводникам, расположенным на расстоянии 61 см друг от друга, текут противополож-но направленные одинаковые токи 62 А. Найти напряженность магнитного поля в точке, расположенной от каждого проводника на таком же расстоя-нии, что и расстояние между проводниками.
417. По кольцу радиусом 99 см течет ток 4 А. Плоскость кольца по диаметру изогнута под прямым углом. Определить величину магнитной индукции в центре кольца.
430. Плоский квадратный контур со стороной 7 см свободно устано-вился в однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,4 Тл. При повороте контура внешними силами вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон, на угол 60° была совершена работа 188 мДж. Определить силу тока, текущего в контуре. Ток при повороте не изменяется.
440. Протон, прошедший разность потенциалов 1731 В, влетел в од-нородное магнитное поле с напряженностью 423 кА/м и начал двигаться по окружности. Вычислить ее радиус.
450. Короткая катушка, имеющая 321 виток, вращается с угловой скоростью 6 рад/с в однородном магнитном поле вокруг оси, совпадающей с ее диаметром и перпендикулярной линиям поля. Найти значение ЭДС индукции для момента времени, когда плоскость по-перечного сечения катушки составляет угол 60° с линиями по-ля.
460. Соленоид содержит 2468 витков, а сила тока в его обмотке рав-на 2 А. Найти энергию магнитного поля внутри соленоида, полагая его бесконечно длинным. Магнитный поток через поперечное сечение солено-ида равен 314 мкВб.
470. Емкость и индуктивность колебательного контура равны и Через сколько времени после начала зарядки конденсатора его энергия в 31 раз превысит энергию катушки индуктивно-сти? Сопротивлением контура пренебречь.
480. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости 2 мкФ получить звуковую частоту 1000 Гц? Сопротив-лением контура пренебречь.

Электрическое поле в диэлектрической среде создается как свободными, так и связанными зарядами, так что вектор напряженности E, характеризующий результирующее поле в диэлектрике,

.

Если обозначить объемную плотность свободных зарядов , а связанных зарядов , то присутствие связанных зарядов отразится в теореме Гаусса следующим образом:

,

в дифференциальной форме, либо в интегральной форме

.

С учетом выражения (2.1)

,

откуда для вектора электрического смещения (индукции) находим

.

Последнее выражение показывает, что вектор электрической индукции учитывает поляризованность среды. Возвращаясь к соответствующим формулировкам теоремы Гаусса

; ,

можно видеть, что вектор электрического смещения характеризует источники электрического поля, т. е. свободные заряды, на которых этот вектор начинается и заканчивается. Так как , то .

Напряженность электрического поля характеризует как свободные, так и связанные заряды, поэтому вектор напряженности терпит разрывы на границах областей, где присутствуют связанные заряды, например на границе раздела двух диэлектриков с различными .

1) Как определяется вектор электрического смещения. Каково его направление
2) В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью смещение имеет значение D. Чему равна поляризованность P в этой точке
3) Чему равен поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность в электрическом поле