Меню Рубрики

Закон кирхгофа в дифференциальной форме

Если в проводящей среде выделить некоторый объем, по которому протекает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно сказать, что ток, который войдет в объем, должен равняться току, вышедшему из него, иначе в этом объеме происходило бы накопление зарядов, что не подтверждается опытом. Сумму входящего в объем и выходящего из объема токов записывают так:

Равенство останется справедливым, если обе его части разделить на объем:

Очевидно, что последнее соотношение будет справедливо и в том случае, если объем, находящийся внутри замкнутой поверхности, устремить к нулю:

Таким образом, для постоянного, неизменного во времени поля в проводящей среде

(42.6)

Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме. Оно означает, что в установившемся режиме в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий тока проводимости.

Уравнение Лапласа для электрического поля в

Проводящей среде

Напряженность электрического поля в проводящей среде, как и в электростатическом поле, .

В неизменном во времени поле

(42.7)

Если среда однородна и изотропна (γ=const), то можно вынести за знак дивиргенции и, следовательно,

(42.8)
. (42.9)

Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа. Поле постоянного тока в проводящей среде является полем потенциальным. В нем, в областях, не занятых источниками,

6. Переход тока из среды с проводимостью γ1 в среду с

проводимостью γ2. Граничные условия

Выясним, какие граничные условия выполняются при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью.

Возьмем на границе раздела сред – линия 00 (рис. 42.2) замкнутый контур 1234. Составим циркуляцию вектора вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41 (длину последних обозначим dl).

Так как вдоль любого замкнутого контура равен нулю, то он равен нулю и для контура 12341.

В силу малости отрезков 12 и 34 пренебрежем составляющими интеграла вдоль этих путей и тогда

т.е. на границе раздела равны тангенциальные составляющие напряженности поля.

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов. Докажем это.

На границе раздела выделим сплющенный параллелепипед (рис. 42.3,а). Поток вектора , втекающий в объем через нижнюю грань, равен ; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань . Так как , то

; . (42.11)

Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью непрерывна тангенциальная составляющая вектора , то есть (но ), и непрерывна нормальная составляющая плотности тока (но ).

Отсюда следует, что полные значения вектора и вектора в общем случае меняются скачком на границе раздела.

Найдем связь между углом падения и углом преломления . В соответствии с рис. 42.3,б:

; или . (42.12)

Если ток переходит из среды с большой проводимостью (например, из металла) в среду с малой (например, в землю), то тангенс угла преломления меньше тангенса угла падения и, следовательно, угол меньше угла . Если весьма мало, то угол .

Вопросы для самоконтроля

1. Какой ток называют током проводимости , а какой – током смещения?

2. Как связаны вектор плотности тока и ток?

3. Проделайте вывод закона Ома в дифференциальной форме.

4. Что понимают под сторонней напряженностью электрического поля?

5. Почему уравнение называют обобщенным законом Ома, а также вторым законом Кирхгофа?

6. Проделайте вывод первого закона Кирхгофа в дифференциальной форме и поясните его физический смысл.

7. Получите выражение для закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

8. Докажите, что электрическое поле в проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.

9. Сформулируйте условия на границе раздела двух сред с разной удельной проводимостью.

Дата добавления: 2017-03-11 ; просмотров: 572 | Нарушение авторских прав

Закон Кирхгофа связывает между собой параметры, связанные с тепловым излучением тел. Такие как монохроматический коэффициент поглощения (поглощательная способность) ($A_<
u ,T>$) и спектральная плотность энергетической светимости тела ($E_<
u ,T>$). Напомню, что коэффициент $A_<
u ,T> $ определяется как:

где $dW_$- элемент энергии, который падает на единичную площадку поверхности в единицу времени, $dW_$ — элемент энергии, поглощаемый единичной площадкой поверхности в единицу времени.

Читайте также:  Gsm модуль для газовых котлов отопления

Выражение, определяющее величину $E_<
u ,T>$ имеет вид:

где $dW$- энергия теплового излучения единицы площади поверхности тела, в единицу времени при частоте, которая находится в интервале от $
u $ до $
u $+d$
u $.

Дифференциальная форма закона Кирхгофа

Между вышеназванными величинами для любого непрозрачного тела существует соотношение, которое называют законом Кирхгофа. В дифференциальной форме он имеет следующий вид:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $<varepsilon >_<
u ,T >$— излучательная способность абсолютно черного тела. Уравнение (3) показывает, что для любой температуры и частоты отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для любых тел и равно излучательной способности черного тела. $<varepsilon >_<
u ,T >=<varepsilon >_<
u ,T >(
u ,T)$ — функция частоты и температуры ее еще называют функцией Киргхофа.

Из закона Кирхгофа следует, что если в данном интервале частот $A_<
u ,T>=0$, то есть тело не поглощает излучение, то $E_<
u ,T>=0$, то есть тело в этом же интервале частом не может и излучать. Чем больше тело излучает, на какой — то определенной частоте, тем больше поглощает на той же частоте. Наибольшее излучение при заданной температуре у абсолютно черного тела.

Интегральная форма закона Кирхгофа

Прежде, чем записать закон Кирхгофа в интегральной форме введем еще несколько необходимых физических величин, которые характеризует тепловое излучение тела. Интегральная излучательная способность (энергетическая светимость) тела ($E_T$) равна поверхностной плотности мощности теплового излучения тела. Математически определение $E_T$ записывается как:

где $E_<lambda ,T>=frac<с><<lambda >^2>E_<
u ,T>$ — излучательная способность тела. $E_T$ также называют энергией излучения всех возможных частот, которые испускаются с единицы поверхности тела на единицу времени. Интегральная излучательная способность ($<varepsilon >_$) — абсолютно черного тела равна:

Соотношение между интегральной излучательной способностью серого тела ($^$) и его поглощательной способностью ($A_T$) имеет вид:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Уфимский государственный авиационный технический университет

Расчетно-графическая работа №2

Анализ электрической цепи переменного тока

Порядок выполнения работы:

Анализ электрической цепи синусоидального тока.

Читайте также:  Ампельные многолетние растения для сада

Согласно индивидуальному заданию, составить схему электрической цепи, обозначить все элементы, задать направления токов. В распечатке исходных данных сопротивления даны в омах, индуктивности – в миллигенри, емкости – в микрофарадах, модули комплексов ЭДС – в вольтах, аргументы комплексов ЭЖС – в градусах, частота основной гармоники ЭДС (частота синусоидального ЭДС) – 50 герц.

Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной и комплексной форме.

Определить токи в ветвях схемы методом контурных токов.

Записать мгновенные значения токов.

Проверить правильность расчетов по законам Кирхгофа.

Составить баланс активных и реактивных мощностей.

Составить топографическую диаграмму напряжений, совместив ее с векторной диаграммой токов ветвей схемы.

Определить токи в ветвях цепи при введении индуктивной связи между двумя индуктивностями.

Анализ электрической цепи синусоидального тока.

Определить для исходной схемы мгновенные значения токов в ветвях при замене синусоидальных источников напряжений на периодические несинусоидальные.

E1 = E3-4 = 50 310 В = 50*cos310 + j50*sin310 = 32,1394 – j38,3022 В

E3 = E3-6 = 20 320 В = 20*cos320 + j20*sin320 = 15,3209 – j12,8558 В

Система уравнений в дифференциальной форме:

по первому закону Кирхгофа:

по второму закону Кирхгофа:

Система уравнений в комплексной форме:

по первому закону Кирхгофа:

по второму закону Кирхгофа:

А А А

А А А А А

по первому закону Кирхгофа:

по второму закону Кирхгофа:

Проверки на законы Кирхгофа показали, что расчеты выполнены верно.

Баланс мощностей сошелся (почти).

В В В В В В В В В В В

А А А А А

Нулевая гармоника:

Отсутствует частота, следовательно сопротивления в емкостях равны бесконечности, а в индуктивностях – нулю. Схема принимает вид:

Поскольку не имеется ни одного замкнутого контура, то нулевая гармоника тока не создает.

Первая гармоника:

А А А А А

Третья гармоника:

E1 = E3-4 = 40 70 = 40*cos70 + j40*sin70 = 13,6808 + j37,5877 В

E3 = E3-6 = 10 100 = 10*cos100 + j10*sin100 = –1,7365 + j9,8481 В

А А А

А А А А А

А А А А А

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector