Закон кирхгофа в дифференциальной форме

Содержание

Если в проводящей среде выделить некоторый объем, по которому протекает постоянный, не изменяющийся во времени ток, то можно сказать, что ток, который войдет в объем, должен равняться току, вышедшему из него, иначе в этом объеме происходило бы накопление зарядов, что не подтверждается опытом. Сумму входящего в объем и выходящего из объема токов записывают так:

Равенство останется справедливым, если обе его части разделить на объем:

Очевидно, что последнее соотношение будет справедливо и в том случае, если объем, находящийся внутри замкнутой поверхности, устремить к нулю:

Таким образом, для постоянного, неизменного во времени поля в проводящей среде

(42.6)

Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифференциальной форме. Оно означает, что в установившемся режиме в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий тока проводимости.

Уравнение Лапласа для электрического поля в

Проводящей среде

Напряженность электрического поля в проводящей среде, как и в электростатическом поле, .

В неизменном во времени поле

(42.7)

Если среда однородна и изотропна (γ=const), то можно вынести за знак дивиргенции и, следовательно,

(42.8)

(42.9)

Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа. Поле постоянного тока в проводящей среде является полем потенциальным. В нем, в областях, не занятых источниками,

6. Переход тока из среды с проводимостью γ₁ в среду с

проводимостью γ₂. Граничные условия

Выясним, какие граничные условия выполняются при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью.

Возьмем на границе раздела сред – линия 00 (рис. 42.2) замкнутый контур 1234. Составим циркуляцию вектора вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41 (длину последних обозначим dl).

Так как вдоль любого замкнутого контура равен нулю, то он равен нулю и для контура 12341.

В силу малости отрезков 12 и 34 пренебрежем составляющими интеграла вдоль этих путей и тогда

или

(42.10)

т.е. на границе раздела равны тангенциальные составляющие напряженности поля.

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей токов. Докажем это.

На границе раздела выделим сплющенный параллелепипед (рис. 42.3,а). Поток вектора , втекающий в объем через нижнюю грань, равен ; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань . Так как , то

;

(42.11)

Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью непрерывна тангенциальная составляющая вектора , то есть (но ), и непрерывна нормальная составляющая плотности тока (но ).

Отсюда следует, что полные значения вектора и вектора в общем случае меняются скачком на границе раздела.

Найдем связь между углом падения и углом преломления . В соответствии с рис. 42.3,б:

;

или

(42.12)

Если ток переходит из среды с большой проводимостью (например, из металла) в среду с малой (например, в землю), то тангенс угла преломления меньше тангенса угла падения и, следовательно, угол меньше угла . Если весьма мало, то угол .

Вопросы для самоконтроля

1. Какой ток называют током проводимости , а какой – током смещения?

2. Как связаны вектор плотности тока и ток?

3. Проделайте вывод закона Ома в дифференциальной форме.

4. Что понимают под сторонней напряженностью электрического поля?

5. Почему уравнение называют обобщенным законом Ома, а также вторым законом Кирхгофа?

6. Проделайте вывод первого закона Кирхгофа в дифференциальной форме и поясните его физический смысл.

7. Получите выражение для закона Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

8. Докажите, что электрическое поле в проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.

9. Сформулируйте условия на границе раздела двух сред с разной удельной проводимостью.

Дата добавления: 2017-03-11 ; просмотров: 572 | Нарушение авторских прав

Закон Кирхгофа связывает между собой параметры, связанные с тепловым излучением тел. Такие как монохроматический коэффициент поглощения (поглощательная способность) ($A_$) и спектральная плотность энергетической светимости тела ($E_$). Напомню, что коэффициент $A_ $ определяется как:

где $dW_$- элемент энергии, который падает на единичную площадку поверхности в единицу времени, $dW_$ — элемент энергии, поглощаемый единичной площадкой поверхности в единицу времени.

Выражение, определяющее величину $E_$ имеет вид:

где $dW$- энергия теплового излучения единицы площади поверхности тела, в единицу времени при частоте, которая находится в интервале от $
u $ до $
u $+d$
u $.

Дифференциальная форма закона Кирхгофа

Между вышеназванными величинами для любого непрозрачного тела существует соотношение, которое называют законом Кирхгофа. В дифференциальной форме он имеет следующий вид:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

где $<varepsilon >_$– излучательная способность абсолютно черного тела. Уравнение (3) показывает, что для любой температуры и частоты отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для любых тел и равно излучательной способности черного тела. $<varepsilon >_=<varepsilon >_(
u ,T)$ – функция частоты и температуры ее еще называют функцией Киргхофа.

Из закона Кирхгофа следует, что если в данном интервале частот $A_=0$, то есть тело не поглощает излучение, то $E_=0$, то есть тело в этом же интервале частом не может и излучать. Чем больше тело излучает, на какой – то определенной частоте, тем больше поглощает на той же частоте. Наибольшее излучение при заданной температуре у абсолютно черного тела.

Интегральная форма закона Кирхгофа

Прежде, чем записать закон Кирхгофа в интегральной форме введем еще несколько необходимых физических величин, которые характеризует тепловое излучение тела. Интегральная излучательная способность (энергетическая светимость) тела ($E_T$) равна поверхностной плотности мощности теплового излучения тела. Математически определение $E_T$ записывается как:

где $E_<lambda ,T>=frac<с><<lambda >^2>E_$ – излучательная способность тела. $E_T$ также называют энергией излучения всех возможных частот, которые испускаются с единицы поверхности тела на единицу времени. Интегральная излучательная способность ($<varepsilon >_$) — абсолютно черного тела равна:

Соотношение между интегральной излучательной способностью серого тела ($^$) и его поглощательной способностью ($A_T$) имеет вид:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Уфимский государственный авиационный технический университет

Расчетно-графическая работа №2

Анализ электрической цепи переменного тока

Порядок выполнения работы:

Анализ электрической цепи синусоидального тока.

Согласно индивидуальному заданию, составить схему электрической цепи, обозначить все элементы, задать направления токов. В распечатке исходных данных сопротивления даны в омах, индуктивности – в миллигенри, емкости – в микрофарадах, модули комплексов ЭДС – в вольтах, аргументы комплексов ЭЖС – в градусах, частота основной гармоники ЭДС (частота синусоидального ЭДС) – 50 герц.

Составить систему уравнений по законам Кирхгофа в дифференциальной и комплексной форме.

Определить токи в ветвях схемы методом контурных токов.

Записать мгновенные значения токов.

Проверить правильность расчетов по законам Кирхгофа.

Составить баланс активных и реактивных мощностей.

Составить топографическую диаграмму напряжений, совместив ее с векторной диаграммой токов ветвей схемы.

Определить токи в ветвях цепи при введении индуктивной связи между двумя индуктивностями.

Анализ электрической цепи синусоидального тока.

Определить для исходной схемы мгновенные значения токов в ветвях при замене синусоидальных источников напряжений на периодические несинусоидальные.