Содержание
Одним из важных элементов электрической цепи является конденсатор, формулы для которого позволяют рассчитать и подобрать наиболее подходящий вариант. Основная функция данного устройства заключается в накоплении определенного количества электроэнергии. Простейшая система включает в себя два электрода или обкладки, разделенные между собой диэлектриком.
В чем измеряется емкость конденсатора
Одной из важнейших характеристик конденсатора является его емкость. Данный параметр определяется количеством электроэнергии, накапливаемой этим прибором. Накопление происходит в виде электронов. Их количество, помещающееся в конденсаторе, определяет величину емкости конкретного устройства.
Для измерения емкости применяется единица – фарада. Емкость конденсатора в 1 фараду соответствует электрическому заряду в 1 кулон, а на обкладках разность потенциалов равна 1 вольту. Эта классическая формулировка не подходит для практических расчетов, поскольку в конденсаторе собираются не заряды, а электроны. Емкость любого конденсатора находится в прямой зависимости от объема электронов, способных накапливаться при нормальном рабочем режиме. Для обозначения емкости все равно используется фарада, а количественные параметры определяются по формуле: С = Q / U, где С означает емкость, Q – заряд в кулонах, а U является напряжением. Таким образом, просматривается взаимная связь заряда и напряжения, оказывающих влияние на способность конденсатора к накоплению и удержанию определенного количества электричества.
Для расчетов емкости плоского конденсатора используется формула: 
в которой ε0 = 8,854187817 х 10 -12 ф/м представляет собой постоянную величину. Прочие величины: ε – является диэлектрической проницаемостью диэлектрика, находящегося между обкладками, S – означает площадь обкладки, а d – зазор между обкладками.
Формула энергии конденсатора
С емкостью самым тесным образом связана другая величина, известная как энергия заряженного конденсатора. После зарядки любого конденсатора, в нем образуется определенное количество энергии, которое в дальнейшем выделяется в процессе разрядки. С этой потенциальной энергией вступают во взаимодействие обкладки конденсатора. В них образуются разноименные заряды, притягивающиеся друг к другу.
В процессе зарядки происходит расходование энергии внешнего источника для разделения зарядов с положительным и отрицательным значением, которые, затем располагаются на обкладках конденсатора. Поэтому в соответствии с законом сохранения энергии, она не исчезает бесследно, а остается внутри конденсатора в виде электрического поля, сосредоточенного между пластинами. Разноименные заряды образуют взаимодействие и последующее притяжение обкладок между собой.
Каждая пластина конденсатора под действием заряда создает напряженность электрического поля, равную Е/2. Общее поле будет складываться из обоих полей, возникающих в каждой обкладке с одинаковыми зарядами, имеющими противоположные значения.
Таким образом, энергия конденсатора выражается формулой: W=q(E/2)d. В свою очередь, напряжение выражается с помощью понятий напряженности и расстояния и представляется в виде формулы U=Ed. Это значение, подставленное в первую формулу, отображает энергию конденсатора в таком виде: W=qU/2. Для получения окончательного результата необходимо использовать определение емкости: C=q/U, и в конце концов энергия заряженного конденсатора будет выглядеть следующим образом: Wэл = CU 2 /2.
Формула заряда конденсатора
Для выполнения зарядки, конденсатор должен быть подключен к цепи постоянного тока. С этой целью может использоваться генератор. У каждого генератора имеется внутреннее сопротивление. При замыкании цепи происходит зарядка конденсатора. Между его обкладками появляется напряжение, равное электродвижущей силе генератора: Uc = E.
Обкладка, подключенная к положительному полюсу генератора, заряжается положительно (+q), а другая обкладка получает равнозначный заряд с отрицательной величиной (- q). Величина заряда q находится в прямой пропорциональной зависимости с емкостью конденсатора С и напряжением на обкладках Uc. Эта зависимость выражается формулой: q = C x Uc.
В процессе зарядки одна из обкладок конденсатора приобретает, а другая теряет определенное количество электронов. Они переносятся по внешней цепи под влиянием электродвижущей силы генератора. Такое перемещение является электрическим током, известным еще как зарядный емкостной ток (Iзар).
Течение зарядного тока в цепи происходит практически за тысячные доли секунды, до того момента, пока напряжение конденсатора не станет равным электродвижущей силе генератора. Напряжение увеличивается плавно, а потом постепенно замедляется. Далее значение напряжения конденсатора будет постоянным. Во время зарядки по цепи течет зарядный ток. В самом начале он достигает максимальной величины, так как напряжение конденсатора имеет нулевое значение. Согласно закона Ома Iзар = Е/Ri, поскольку к сопротивлению Ri приложена вся ЭДС генератора.
Формула тока утечки конденсатора
Ток утечки конденсатора вполне можно сравнить с воздействием подключенного к нему резистора с каким-либо сопротивлением R. Ток утечки тесно связан с типом конденсатора и качеством используемого диэлектрика. Кроме того, важным фактором становится конструкция корпуса и степень его загрязненности.
Некоторые конденсаторы имеют негерметичный корпус, что приводит к проникновению влаги из воздуха и возрастанию тока утечки. В первую очередь это касается устройств, где в качестве диэлектрика использована промасленная бумага. Значительные токи утечки возникают из-за снижения электрического сопротивления изоляции. В результате нарушается основная функция конденсатора – способность получать и сохранять заряд электрического тока.
Основная формула для расчета выглядит следующим образом: Iут = U/Rd, где Iут, – это ток утечки, U – напряжение, прилагаемое к конденсатору, а Rd – сопротивление изоляции.
По назначению конденсатор можно сравнить с батарейкой. Но имеется принципиальное отличие в работе данных элементов. Существуют отличия в предельной емкости и скорости зарядки конденсатора и батарейки.
Формула заряда конденсатора
Величина заряда конденсатора (q) связана с его емкостью (C) и разностью потенциалов (U) между его обкладками как:
где q – величина заряда одной из обкладок конденсатора, а 
– разность потенциалов между его обкладками.
Электроемкость конденсатора — это величина, которая зависит то размеров и устройства конденсатора.
Заряд на пластинах плоского конденсатора равен:
где 
– электрическая постоянная; 
– площадь каждой (или наименьшей) пластины; 
– расстояние между пластинами; 
– диэлектрическая проницаемость диэлектрика, который находится между пластинами конденсатора.
Заряд на обкладках цилиндрического конденсатора вычисляется при помощи формулы:
где l – высота цилиндров; 
– радиус внешней обкладки; 
– радиус внутренней обкладки.
Заряд на обкладках сферического конденсатора найдем как:
где 
– радиусы обкладок конденсатора.
Заряд конденсатора связан с энергией поля (W) внутри него:
Из формулы (6) следует, что заряд можно выразить как:
Рассмотрим последовательное соединение из N конденсаторов ( рис. 1).
Здесь (рис.1) положительная обкладка одного конденсатора соединяется с отрицательной обкладкой следующего конденсатора. При таком соединении, обкладки соседних конденсаторов создают единый проводник. У всех конденсаторов, соединенных последовательно на обкладках имеются равные по величине заряды.
При параллельном соединении конденсаторов (рис.2), соединяют обкладки, имеющие заряды одного знака. Суммарный заряд соединения (q) равен сумме зарядов конденсаторов.
Примеры решения задач по теме «Заряд конденсатора»
| Задание | Каковы заряды на обкладках конденсаторов, если они имеют емкости  Ф и  Ф, соединены последовательно и присоединены к батарее с ЭДС равной  В (рис.3)? Чему равен суммарный заряд соединения? |
Заряд на первом конденсаторе при этом равен:
Заряд на обкладках второго конденсатора:
Суммарный заряд системы можно найти как:
Тогда суммарный заряд равен:
Кл; 
Кл; 
Кл| Задание | Емкость пускового устройства электрического двигателя равна C. Энергии имеющейся в конденсаторе достаточно для того чтобы поднять груз массы m на высоту h. Чему равен заряд конденсатора? |
| Решение | При поднятии груза на высоту h происходит переход энергии поля конденсатора ( ) в потенциальную энергию тела ( ), поднятого над Землей, поэтому запишем: |
Энергию найдем как:
Энергию электрического поля конденсатора будет удобнее выразить:
Подставим в выражение (2.1) правые части (2.2) и (2.3), имеем:
Конденсатор – это совокупность двух любых проводников, заряды которых одинаковы по значению и противоположны по знаку.
Его конфигурация говорит о том, что поле, созданное зарядами, локализовано между обкладками. Тогда можно записать формулу электроемкости конденсатора:
C = q φ 1 – φ 2 = q U .
Значением φ 1 – φ 2 = U обозначают разность потенциалов, называемую напряжением, то есть U . По определению емкость положительна. Она зависит только от размерностей обкладок конденсатора их взаиморасположения и диэлектрика. Ее форма и место должны минимизировать воздействие внешнего поля на внутреннее. Силовые линии конденсатора начинаются на проводнике с положительным зарядом, а заканчиваются с отрицательным. Конденсатор может являться проводником, помещенным в полость, окруженным замкнутой оболочкой.
Выделяют три большие группы: плоские, сферические, цилиндрические. Чтобы найти емкость, необходимо обратиться к определению напряжения конденсатора с известными значениями зарядов на обкладках.
Плоский конденсатор
Плоский конденсатор – это две противоположно заряженные пластины, которые разделены тонким слоем диэлектрика, как показано на рисунке 1 .
Формула для расчета электроемкости записывается как
C = ε ε 0 S d , где S является площадью обкладки, d – расстоянием между ними, ε – диэлектрической проницаемостью вещества. Меньшее значение d способствует большему совпадению расчетной емкости конденсатора с реальной.
При известной электроемкости конденсатора, заполненного N слоями диэлектрика, толщина слоя с номером i равняется d i , вычисление диэлектрической проницаемости этого слоя ε i выполняется, исходя из формулы:
C = ε 0 S d 1 ε 1 + d 2 ε 2 + . . . + d N ε N .
Сферический конденсатор
Когда проводник имеет форму шара или сферы, тогда внешняя замкнутая оболочка является концентрической сферой, это означает, что конденсатор сферический.
Он состоит из двух концентрических проводящих сферических поверхностей с пространством между обкладками, заполненным диэлектриком, как показано на рисунке 2 . Емкость рассчитывается по формуле:
C = 4 π ε ε 0 R 1 R 2 R 2 – R 1 , где R 1 и R 2 являются радиусами обкладок.
Цилиндрический конденсатор
Емкость цилиндрического конденсатора равняется:
C = 2 πεε 0 l ln R 2 R 1 , где l – высота цилиндров, R 1 и R 2 – радиусы обкладок. Данный вид конденсатора имеет две соосные поверхности проводящих цилиндрических поверхности, как показано на рисунке 3 .
Важной характеристикой конденсаторов считается пробивное напряжение – напряжение, при котором происходит электрический разряд через слой диэлектрика.
U m a x находится от зависимости от толщины слоя и свойств диэлектрика, конфигурации конденсатора.
Электроемкость плоского конденсатора. Формулы
Кроме отдельных конденсаторов используются их соединения. Наличие параллельного соединения конденсаторов применяют для увеличения его емкости. Тогда поиск результирующей емкости соединения сводится к записи суммы C i , где C i – это емкость конденсатора с номером i :
При последовательном соединении конденсаторов суммарная емкость соединения всегда будет по значению меньше, чем минимальная любого конденсатора, входящего в систему. Для расчета результирующей емкости следует сложить величины, обратные к емкостям отдельных конденсаторов:
Произвести вычисление емкости плоского конденсатора при известной площади обкладок
1 с м 2 с расстоянием между ними 1 м м . Пространство между обкладками находится в вакууме.
Решение
Чтобы рассчитать электроемкость конденсатора, применяется формула:
ε = 1 , ε 0 = 8 , 85 · 10 – 12 Ф м ; S = 1 с м 2 = 10 – 4 м 2 ; d = 1 м м = 10 – 3 м .
Подставим числовые выражения и вычислим:
C = 8 , 85 · 10 – 12 · 10 – 4 10 – 3 = 8 , 85 · 10 – 13 ( Ф ) .
Ответ: C ≈ 0 , 9 п Ф .
Найти напряженность электростатического поля у сферического конденсатора на расстоянии x = 1 с м = 10 – 2 м от поверхности внутренней обкладки при внутреннем радиусе обкладки, равном R 1 = 1 с м = 10 – 2 м , внешнем – R 2 = 3 с м = 3 · 10 – 2 м . Значение напряжения – 10 3 В .
Решение
Производящая заряженная сфера создает напряженность поля. Его значение вычисляется по формуле:
E = 1 4 π ε ε 0 q r 2 , где q обозначают заряд внутренней сферы, r = R 1 + x – расстояние от центра сферы.
Нахождение заряда предполагает применение определения емкости конденсатора С:
Для сферического конденсатора предусмотрена формула вида
C = 4 π ε ε 0 R 1 R 2 R 2 – R 1 с радиусами обкладок R 1 и R 2 .
Производим подстановку выражений для получения искомой напряженности:
E = 1 4 πεε 0 U ( x + R 1 ) 2 4 πεε 0 R 1 R 2 R 2 – R 1 = U ( x + R 1 ) 2 R 1 R 2 R 2 – R 1 .
Данные представлены в системе С И , поэтому достаточно заменить буквы числовыми выражениями:
E = 10 3 ( 1 + 1 ) 2 · 10 – 4 · 10 – 2 · 3 · 10 – 2 3 · 10 – 2 – 10 – 2 = 3 · 10 – 1 8 · 10 – 6 = 3 , 45 · 10 4 В м .
Ответ: E = 3 , 45 · 10 4 В м .
